Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d A}{d t} + \frac{A}{100} = 6$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{A}{100}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d A}{d t} = 6 - \frac{A}{100}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{6 - \frac{A}{100}}$ .

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $6 - \frac{A}{100}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Alors $d u = - \frac{1}{100} d A$ , donc $- 100 d u = d A$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Déterminez $\frac{d u}{d A}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $6 - \frac{A}{100}$ .

$\frac{d}{d A} [6 - \frac{A}{100}]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - \frac{A}{100}$ par rapport à $A$ est $\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

$\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $6$ par rapport à $A$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{100}$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $- \frac{A}{100}$ par rapport à $A$ est $- \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$ .

$0 - \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ est $n A^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{100} \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{100}$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $\frac{1}{100}$ de $0$ .

$- \frac{1}{100}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{100}} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{100}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 100) d u = \int d t$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $100$ par $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 100 d u = \int d t$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$\int - 100 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.6

Associez $- 100$ et $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 100}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{100}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{100}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4

Comme $100$ est constant par rapport à $u$ , placez $100$ en dehors de l’intégrale.

$- (100 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$- 100 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 100 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- 100 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - \frac{A}{100}$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{A}{100} |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $A$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ par $- 100$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ par $- 100$ .

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 100$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)$ par $1$ .

$\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Étape 3.1.2.2

Associez $A$ et $\frac{1}{100}$ .

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} + \frac{C}{- 100}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$

Étape 3.2

Pour résoudre $A$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 6 - \frac{A}{100} |)} = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} = | 6 - \frac{A}{100} |$

Étape 3.4

Résolvez $A$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$ .

$| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$6 - \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6$

Étape 3.4.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 100$ .

$- 100 (- \frac{A}{100}) = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.5.1.1

Simplifiez $- 100 (- \frac{A}{100})$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{A}{100}$ dans le numérateur.

$- 100 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.2

Factorisez $100$ à partir de $- 100$ .

$100 (- 1) \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$100 \cdot - 1 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.1.1.2.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Étape 3.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.5.2.1

Simplifiez $- 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$ .

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Étape 3.4.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) - 100 \cdot - 6$

Étape 3.4.5.2.1.2

Multipliez $- 100$ par $- 6$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) + 600$

Étape 3.4.6

Remettez dans l’ordre $- \frac{t}{100}$ et $- \frac{C}{100}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{C}{100} - \frac{t}{100}}) + 600$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$A = - 100 (\pm e^{C - \frac{t}{100}}) + 600$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} + C}) + 600$

Étape 4.3

Réécrivez $e^{- \frac{t}{100} + C}$ comme $e^{- \frac{t}{100}} e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100}} e^{C}) + 600$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{t}{100}}$ et $e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{100}}) + 600$

Étape 4.5

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$A = - 100 (C e^{- \frac{t}{100}}) + 600$