Calcul infinitésimal Exemples

$6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$ par $6$ .

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 (3)} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.1

Multipliez $v^{\frac{1}{3}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.12

Placez $v^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.14

Associez $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.15

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Étape 5.16

Multipliez $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.17

Multipliez $v^{\frac{2}{3}}$ par $v^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.17.1

Déplacez $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Étape 5.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 5.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 5.17.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{3}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $3 v^{\frac{4}{3}}$ à partir de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- \frac{1}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5

Simplifiez $\frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.7

Associez $v$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{v}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 1 = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10

Multipliez $v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 7.1.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} + v = - 1 \cdot 3 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 (2)} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 \cdot 2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Étape 7.1.1.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Étape 7.1.1.3.4.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $v^{- \frac{4}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.3.5.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Étape 7.1.1.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{0}{3}}$

Étape 7.1.1.3.5.5

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{0}$

Étape 7.1.1.3.6

Simplifiez $- \frac{x}{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’équation avec des coefficients isolés.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{1}{2} x$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- \frac{1}{2} x)$

Étape 7.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{x} x$

Étape 7.3.3

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{e^{x}}{2} x$

Étape 7.3.4

Associez $x$ et $\frac{e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$

Étape 7.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - \frac{x e^{x}}{2}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - \frac{x e^{x}}{2}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} v = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} v = - \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Étape 7.7.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int x e^{x} d x)$

Étape 7.7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 7.7.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Étape 7.7.5

Simplifiez

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 7.8

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.3.1

Associez en une fraction.

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Étape 7.8.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$v = \frac{- (x e^{x} - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{(- (x e^{x}) - - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.2

Multipliez $- - e^{x}$ .

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Étape 7.8.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + 1 e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.2.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{- x e^{x} \frac{1}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.4

Multipliez $- x e^{x} \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.8.3.2.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$v = \frac{- \frac{x}{2} e^{x} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.4.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.5

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + \frac{e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.7

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Étape 7.8.3.2.7.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.7.2

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.7.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.8

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.9

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.8.3.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.11.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.2.11.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Étape 7.8.3.4

Multipliez $\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}$ par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{x}$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) - 1 (- e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x} x) - 1 (- e^{x})$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $2 C$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.8.3.10.1

Réécrivez $- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ comme $- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ .

$v = \frac{- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 7.8.3.10.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$ .

$v = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$