Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x} y^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((x + 1) e^{- x} y^{2})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $(x + 1) e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + 1 e^{- x}$

Étape 1.2.3

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (x e^{- x} + e^{- x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{1} = - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{1} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.8

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.8.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.10

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - (e^{u_{2}} + C_{3})$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.11.2

Soustrayez $e^{u_{2}}$ de $- e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C_{4}$

Étape 2.3.12

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Étape 2.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x})$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.5

Factorisez $y$ à partir de $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ par $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ par $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Étape 3.3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + K}$

Étape 3.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + K}$

Étape 3.3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) + K}$

Étape 3.3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)}$

Étape 3.3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Étape 3.3.3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.3.7.1

Réécrivez $- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ comme $- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Étape 3.3.3.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Étape 3.3.3.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Étape 3.3.3.3.7.4

Multipliez $\frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} + K}$