Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt[3]{3 x - 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{3 x - 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 2.3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} {(3 x - 1)}^{\frac{4}{3}} + K$