Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(x + 1) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (| x |)$ et $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Étape 5.4

Simplifiez

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Étape 7

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $10$ dans $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Étape 8

Résolvez $C$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1.1.1

Multipliez $\ln (| 1 |)$ par $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(1 + 1) \cdot 10$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$- 1 + C = 20$

Étape 8.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 20 + 1$

Étape 8.4.2

Additionnez $20$ et $1$ .

$C = 21$

Étape 9

Remplacez $C$ par $21$ dans $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Remplacez $C$ par $21$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$