Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.2

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.8

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.8.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.2.8.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 2.2.8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.2.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.9

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.11

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.12

Simplifiez

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.2.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.13.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.14

Simplifiez

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Étape 2.2.14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.14.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Étape 2.2.14.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.14.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$