Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Étape 2.3.1.2.5.2

Additionnez $8$ et $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{11}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Étape 4.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{13}$ par $0$ .

$0 + K = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 0$

Étape 5

Remplacez $K$ par $0$ dans $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Étape 5.2

Additionnez $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ et $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Étape 5.3

Associez $\frac{2}{13}$ et $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$