Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Étape 1.2.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Étape 1.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y + y x$ .

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Étape 1.2.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.5

Multipliez $y$ par $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{1}{x} + C}$ comme $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{1}{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$