Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 - y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (1 - y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y (1 - x^{2}) d y = - x (1 - y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (y (1 - x^{2})) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 - x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 - x^{2}$ à partir de $y (1 - x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} ((1 - x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} ((1 - x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 - y^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{1 - y^{2}} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y}{1^{2} - y^{2}} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $1 - y^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $1 - y^{2}$ à partir de $(1 - x^{2}) (1 - y^{2})$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Étape 3.5.3

Factorisez $1 - y^{2}$ à partir de $x (1 - y^{2})$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} ((1 - y^{2}) x) d x$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} ((1 - y^{2}) x) d x$

Étape 3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} x d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{- 1}{1 - x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{1 - x^{2}} d x$

Étape 3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{1^{2} - x^{2}} d x$

Étape 3.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = (1 + y) (1 - y)$ . Alors $d u_{1} = - 2 y d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = (1 + y) (1 - y)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 1 + y$ et $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + y)$ comme $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.2.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.2.1.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.11

Multipliez $1 - y$ par $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Étape 4.2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 4.2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Étape 4.2.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Étape 4.2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- y + 0 - y$

Étape 4.2.1.1.4.2.3

Additionnez $- y$ et $0$ .

$- y - y$

Étape 4.2.1.1.4.2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Étape 4.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + x)$ comme $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.3.11

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Étape 4.3.2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.3.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Étape 4.3.2.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- x + 0 - x$

Étape 4.3.2.1.4.2.3

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x - x$

Étape 4.3.2.1.4.2.4

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.8

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.3

Associez $\ln (| 1 - y^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.5

Multipliez.

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Étape 5.2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.1.1.5.2

Multipliez $\ln (| 1 - y^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 - x^{2} |)$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - (\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2)$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - (\ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C)$

Étape 5.2.2.1.5

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) - (2 C)$

Étape 5.2.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) - 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - y^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = - 2 C$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{2} | | 1 - x^{2} |) = - 2 C$

Étape 5.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 - y^{2}) (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.6

Développez $(1 - y^{2}) (1 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 (1 - x^{2}) - y^{2} (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.7.2

Multipliez $- x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot (- 1 y^{2} x^{2}) |) = - 2 C$

Étape 5.7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + 1 y^{2} x^{2} |) = - 2 C$

Étape 5.7.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |) = - 2 C$

Étape 5.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{- 2 C}$

Étape 5.9

Réécrivez $\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = | 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Étape 5.10

Résolvez $y$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{- 2 C}$ .

$| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{- 2 C}$

Étape 5.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C}$

Étape 5.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.10.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1$

Étape 5.10.3.2

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.4

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

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Étape 5.10.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.4.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.4.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (- 1 + x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y^{2} (- 1^{2} + x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.6

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.7

Factorisez.

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Étape 5.10.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Étape 5.10.8

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$ par $(x + 1) (x - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.10.8.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.8.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.10.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.8.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.10.8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.8.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.10.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$ .

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Étape 5.10.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.4

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.10.10.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.5.2

Élevez $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.10.10.5.3

Élevez $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Étape 5.10.10.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Étape 5.10.10.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Étape 5.10.10.5.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ comme $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 5.10.10.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.10.10.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.10.10.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.10.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.10.10.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.10.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Étape 5.10.10.5.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.10.10.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2}) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$