Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3 - y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3 - y$ à partir de $4 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 3 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 3 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 3 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

Étape 3.1.3.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Étape 3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Étape 3.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Étape 3.1.3.4.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Étape 3.1.3.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.3.5.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Étape 3.1.3.5.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ comme $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ .

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Étape 3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ en deux fractions.

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Étape 3.4.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{4 + C}{1 - x}$ en deux fractions.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Étape 3.4.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

Étape 3.4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Étape 3.4.3.2.4

Multipliez $- - \frac{C x}{1 - x}$ .

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Étape 3.4.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Étape 3.4.3.2.4.2

Multipliez $\frac{C x}{1 - x}$ par $1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Pour écrire $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.2

Pour écrire $\frac{- 3}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.3.3.1

Multipliez $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.3

Multipliez $\frac{- 3}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

Étape 3.4.4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.4

Réécrivez $- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ comme $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

Étape 3.4.4.3.6

Divisez $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ par $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$