Calcul infinitésimal Exemples

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(v^{2} - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = v$ et $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x (v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x v$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ et $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $v^{2} - 1$ .

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Étape 3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Étape 3.7.2

Factorisez $v^{2} - 1$ à partir de $x (v^{2} - 1)$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Étape 3.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $v$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u = (v + 1) (v - 1)$ . Alors $d u = 2 v d v$ , donc $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u = (v + 1) (v - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

Étape 4.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = v + 1$ et $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v - 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3.4.2

Multipliez $v + 1$ par $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Étape 4.2.2.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v + 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

Étape 4.2.2.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

Étape 4.2.2.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

Étape 4.2.2.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.2.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

Étape 4.2.2.1.3.8.2

Multipliez $v - 1$ par $1$ .

$v + 1 + v - 1$

Étape 4.2.2.1.3.8.3

Additionnez $v$ et $v$ .

$2 v + 1 - 1$

Étape 4.2.2.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 v + 0$

Étape 4.2.2.1.3.8.4.2

Additionnez $2 v$ et $0$ .

$2 v$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $v$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

Étape 5.3

Développez $(v + 1) (v - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $v$ par $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez $- 1 v$ comme $- v$ .

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $v$ par $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.2

Additionnez $- v$ et $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

Étape 5.4.3

Additionnez $v^{2}$ et $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

Étape 5.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

Étape 5.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

Étape 5.8

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

Étape 5.9

Réécrivez $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

Étape 5.10

Résolvez $v$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez l’équation comme $| v^{2} x - x | = e^{C}$ .

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

Étape 5.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

Étape 5.10.3

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

Étape 5.10.4

Divisez chaque terme dans $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.10.4.1

Divisez chaque terme dans $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ par $x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.10.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.10.4.2.1.2

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.10.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.10.4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.10.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.10.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Étape 5.10.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

Étape 5.10.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

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Étape 5.10.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 5.10.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

Étape 5.10.6.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

Étape 5.10.6.4

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 5.10.6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.10.6.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 5.10.6.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 5.10.6.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 5.10.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 5.10.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 5.10.6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.10.6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.10.6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.10.6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.10.6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 5.10.6.5.6.5

Simplifiez

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Étape 5.10.6.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

Étape 5.10.6.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$