Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $y$ est $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ par $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.6

Associez $\frac{x^{2}}{9}$ et $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.10

Associez $x$ et $\frac{K^{2}}{9}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Étape 3.3.2.1.2.12

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Étape 3.4

Simplifiez $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Étape 3.4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $K^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Étape 3.4.3

Déplacez $\frac{x^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

Étape 3.4.4

Déplacez $\frac{K x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Étape 3.4.5

Remettez dans l’ordre $\frac{K^{2} x}{9}$ et $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$