Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (2 x + 2)}{x^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (\frac{2 x + 2}{x^{2}}))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Multipliez $(x + 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 2.3.4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Étape 2.3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} + \int x^{- 2} d x)$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} - x^{- 1} + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Pour écrire $\ln (| x |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\frac{\ln (| x |) x}{x} - \frac{1}{x}) + C$

Étape 3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} = 2 \frac{\ln (| x |) x - 1}{x} + C$

Étape 3.1.3

Associez $2$ et $\frac{\ln (| x |) x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, x, 1$

Étape 3.2.2

Comme $y, x, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}, x^{1}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.2.6

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y x$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ par $y x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ par $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x = 2 (\ln (| x |) x - 1) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x = (2 (\ln (| x |) x) + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $2 (\ln (| x |) x)$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $2$ .

$- x = (2 \cdot \ln (| x |) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.3.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- x = (\ln (x^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Étape 3.3.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- x = \ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$

Étape 3.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$ .

$- x = x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$ .

$x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y \ln (x^{2})$ .

$y (x \ln (x^{2})) - 2 y + C y x = - x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + C y x = - x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $C y x$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + y (C x) = - x$

Étape 3.4.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x) = - x$

Étape 3.4.2.5

Factorisez $y$ à partir de $y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x)$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ par $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ par $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$