Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Étape 1.1.2

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2}) = 3 x - x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} (1 - x^{2}) = 3 x - x y$

Étape 1.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1^{2} - x^{2}) = 3 x - x y$

Étape 1.1.5

Factorisez.

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Étape 1.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} ((1 + x) (1 - x)) = 3 x - x y$

Étape 1.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$

Étape 1.1.6

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ par $(1 + x) (1 - x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.6.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ par $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 1.1.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.6.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x - x y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (- 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2.2.1.4

Multipliez $x$ par $3 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y))$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $3 - y$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $3 - y$ à partir de $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 3 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 3 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + x)$ comme $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.1.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.11

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.1.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- x + 0 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.3

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.4

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\ln (| (1 + x) (1 - x) |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} = C$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x + x (- x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x \cdot x |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 0 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.4

Pour écrire $- \ln (| 3 - y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.5

Associez $- \ln (| 3 - y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| 3 - y |) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (| 3 - y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (| 1 - x^{2} |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Réécrivez $- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ comme $- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Étape 3.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.12

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.1

Simplifiez $- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2}$ .

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Étape 3.12.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| 3 - y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln ({| 3 - y |}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| 3 - y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \frac{\ln ({(3 - y)}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.12.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.3

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.1.4.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x + x (- x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x \cdot x |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.1.4.4.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - (x \cdot x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 0 - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.1.4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Étape 3.12.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})) = C$

Étape 3.12.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \ln ({(\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.12.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |}$ .

$- \ln (\frac{{({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.12.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.12.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.5.2

Simplifiez

$- \ln (\frac{3 - y}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.12.1.6.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.12.1.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.6.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x \cdot x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1.6.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - (x \cdot x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 0 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.12.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.13

Divisez chaque terme dans $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.13.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.13.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.13.2.2

Divisez $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})$ par $1$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.13.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Étape 3.13.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$

Étape 3.14

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{- C}$

Étape 3.15

Réécrivez $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.16

Résolvez $y$ .

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Étape 3.16.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$

Étape 3.16.2

Multipliez les deux côtés par ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.16.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.16.3.1

Simplifiez $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.16.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 - y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.16.3.1.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $- y$ .

$- y + 3 = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.16.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.16.4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$

Étape 3.16.4.2

Divisez chaque terme dans $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.16.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.16.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.16.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.16.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.16.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.16.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ comme $- (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.16.4.2.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = C {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$