Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Inversez l’exposant de $e^{3 x^{3}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Étape 1.2.3

Laissez $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Laissez $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Différenciez $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 1.2.3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 1.2.3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 1.2.3.1.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Étape 1.2.3.1.4

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Étape 1.2.3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Étape 1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Étape 1.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez

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Étape 1.2.6.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Étape 1.2.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Étape 1.2.6.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Étape 1.2.6.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Étape 1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Étape 1.2.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Étape 1.4

Associez $e^{- 3 x^{3}}$ et $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Étape 1.5

Déplacez $5$ à gauche de $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ et $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Associez $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ et $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ et $e^{3 x^{3}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $e^{3 x^{3}}$ à partir de $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.3.2.4

Divisez $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ par $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ par $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ par $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ par $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$