Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez $\arctan (y)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.2

Divisez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

Étape 5.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Étape 5.2

Réécrivez l’équation comme $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

Étape 5.3

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

Étape 5.4

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

Étape 5.5

Réécrivez l’équation comme $\tan (\arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Étape 5.6

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Étape 5.7

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Étape 5.8

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Étape 5.9

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Étape 5.10

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Étape 5.11

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Étape 5.12

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$