Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d P}{d t} = - 5 t e^{- 0.2 t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d P = - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d P = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$P + C_{1} = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - 5 \int t e^{- 0.2 t} d t$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- 0.2 t}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \int - 5 e^{- 0.2 t} d t)$

Étape 2.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - (- 5 \int e^{- 0.2 t} d t))$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{- 0.2 t} d t)$

Étape 2.3.5

Laissez $u = - 0.2 t$ . Alors $d u = - 0.2 d t$ , donc $\frac{1}{- 0.2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = - 0.2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $- 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $- 0.2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.2 t$ par rapport à $t$ est $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $- 0.2$ par $1$ .

$- 0.2$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u)$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u)$

Étape 2.3.6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Étape 2.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u))$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Étape 2.3.9

Comme $\frac{1}{0.2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.2}$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u))$

Étape 2.3.10

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1

Associez $\frac{1}{0.2}$ et $- 5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + \frac{- 5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$

Étape 2.3.12

Réécrivez $- 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$ comme $- 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.2 t$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$P = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + K$