Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $9$ et $y$ par $1$ dans $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Étape 4.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Étape 4.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$27 + 3 + K = 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $27$ et $3$ .

$30 + K = 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - 30$

Étape 4.3.2

Soustrayez $30$ de $1$ .

$K = - 29$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 29$ dans $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 29$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$