Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d P}{d C} = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d P = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d P = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$P + C_{1} = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$P + C_{1} = \int - \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $C$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - \int \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2.3.3

Comme $216$ est constant par rapport à $C$ , placez $216$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = - (216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C)$

Étape 2.3.4

Multipliez $216$ par $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Étape 2.3.5

Laissez $u = C + 1$ . Puis $d u = d C$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = C + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d C}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $C + 1$ .

$\frac{d}{d C} [C + 1]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $C + 1$ par rapport à $C$ est $\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$ .

$\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ est $n C^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d C} [1]$

Étape 2.3.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $C$ , la dérivée de $1$ par rapport à $C$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 2.3.6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.6.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.6.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 2.3.6.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 2.3.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$P + C_{1} = - 216 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Réécrivez $- 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = - 216 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$P + C_{1} = - 216 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 216$ .

$P + C_{1} = 216 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.4

Associez $216$ et $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = \frac{216 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.5

Multipliez $216$ par $2$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $C + 1$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$P = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + K$