Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Étape 6.1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = V$ et $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Complétez le carré.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Développez $(V + 1) (V - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Étape 6.2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1.1

Multipliez $V$ par $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.4

Multipliez $V$ par $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Étape 6.2.2.1.1.2.3

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$V^{2} - 1$

Étape 6.2.2.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Étape 6.2.2.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.2.2.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{1}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$d = 0$

Étape 6.2.2.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.2.2.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$e = - 1 - 0$

Étape 6.2.2.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = - 1 + 0$

Étape 6.2.2.1.5.2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$e = - 1$

Étape 6.2.2.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = V + 0$ . Puis $d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = V + 0$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V + 0$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $0$ par rapport à $V$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Laissez $u = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.4.1

Simplifiez $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Étape 6.2.2.4.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.2

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 6.2.2.4.2.1

Factorisez $\tan (t)$ à partir de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.2.2.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.1

Additionnez $V$ et $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2

Additionnez $V$ et $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.3.1

Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (V)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (V))$ est $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = V$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.4

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 6.3.5

Réécrivez $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Étape 6.3.6

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Étape 6.3.6.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.6.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 6.3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.6.4

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Étape 6.3.6.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Étape 6.3.6.4.3

Résolvez $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

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Étape 6.3.6.4.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Étape 6.3.6.4.3.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Étape 6.3.6.4.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.6.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ comme ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.6.4.5.2.1

Simplifiez ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.6.4.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.2

Développez $(V + 1) (V - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Multipliez $V$ par $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Multipliez $V$ par $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.2.1.4

Simplifiez

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1

Simplifiez ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.1

Réécrivez ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ comme $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.2

Développez $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Multipliez $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Élevez $\pm e^{C} | x |$ à la puissance $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Élevez $\pm e^{C} | x |$ à la puissance $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Multipliez les exposants dans ${(e^{C})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Déplacez $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Multipliez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Soustrayez $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Déplacez $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Soustrayez $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Étape 6.3.6.4.5.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Étape 6.3.6.4.6

Résolvez $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.1

Comme $V$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Étape 6.3.6.4.6.2

Déplacez tous les termes contenant $V$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.2.1

Soustrayez $V^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Étape 6.3.6.4.6.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.2.2.1

Soustrayez $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Étape 6.3.6.4.6.2.2.2

Additionnez $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ et $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Étape 6.3.6.4.6.3

Soustrayez $x^{2} e^{2 C}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Étape 6.3.6.4.6.4

Divisez chaque terme dans $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ par $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ par $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\pm e^{C} | x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.6.4.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.3.6.4.6.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Étape 6.4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Simplifiez $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Étape 8.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Étape 8.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Étape 8.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2 C | x |}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Étape 8.2.2.1.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.4.1

Associez $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Étape 8.2.2.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.4.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Étape 8.2.2.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Étape 8.2.2.1.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$