Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C_{1}}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 10

Réécrivez l’équation.

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Étape 11

Intégrez les deux côtés.

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Étape 11.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.4

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.5.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 11.3.5.2

Simplifiez

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Étape 11.3.5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.5.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 11.3.5.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Étape 11.3.5.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

Étape 11.3.6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.3.6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.3.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 11.3.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 11.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

Étape 11.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Étape 11.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Étape 11.3.9

Simplifiez

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Étape 11.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Étape 11.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

Étape 11.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$