Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(y + 2)}^{6}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 2$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez $u^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 6}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{5}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $- 1$ dans $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Étape 4.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{1}{5}$ dans $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$