Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 1.1.2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la fraction $\frac{x - y}{y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Étape 1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Étape 1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Étape 1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $\frac{1}{V} - 1$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Étape 6.1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $V x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Étape 6.1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Étape 6.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Étape 6.1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $\frac{1 - V}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Étape 6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.1.5.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Étape 6.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Étape 6.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Étape 6.1.5.3

Annulez le facteur commun de $1 - V$ .

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Étape 6.1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Étape 6.1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Divisez $V$ par $- V + 1$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $V$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Étape 6.2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Étape 6.2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $V - 1$

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Étape 6.2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Étape 6.2.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Laissez $u = - V + 1$ . Alors $d u = - d V$ , donc $- d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Laissez $u = - V + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.5.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 6.2.2.5.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Étape 8.2

Ajoutez $\ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ comme $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Étape 8.3.3.1.6

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Étape 8.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.6

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Étape 8.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$