Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(1 + y^{2}) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Étape 5.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Étape 5.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Étape 5.4

Réécrivez l’équation comme $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Étape 5.5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Étape 5.6

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 5.7

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Étape 5.8

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Étape 5.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Étape 5.10

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 5.11

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$