Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x y = 1 x^{3} + C$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = x^{3} + C$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = x^{3} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$