Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ par $y^{2} + x^{2} y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ par $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x^{2} y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \arctan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\arctan (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \arctan (x) + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{3 \arctan (x) + 3 K}$

Étape 3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \arctan (x) + 3 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \arctan (x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x)) + 3 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (\arctan (x)) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x) + K)}$