Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $\sqrt{3}$ dans $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Étape 5

Résolvez $C$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Étape 5.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur de la tangente.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $| \sec (0) |$ .

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Étape 5.3.1.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5.3.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Étape 5.5

Divisez $3.14159265$ par $3$ .

$1 = 1.04719755$

Étape 5.6

Comme $1 \neq 1.04719755$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 5.7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Étape 5.8

Résolvez $C$ .

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Étape 5.8.1

Simplifiez $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

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Étape 5.8.1.1

Divisez $3.14159265$ par $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Étape 5.8.1.2

Additionnez $3.14159265$ et $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Étape 5.8.2

Comme $1 \neq 4.1887902$ , il n’y a aucune solution.

$Aucune solution$