Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $\frac{y}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $\frac{1}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{- y + 1}$ par $\frac{- y + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $- y + 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = - y + 1$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| - y + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | - y + 1 |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ comme $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\frac{1}{x} + C}$ comme $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{1}{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$