Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 7 \int x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Alors $d u_{2} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$ , donc $- \frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{- x^{7}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{- x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{7}}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{7}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{7}$ .

$e^{- x^{7}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{7}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$e^{- x^{7}} (- \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$e^{- x^{7}} (- (7 x^{6}))$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$ .

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$ .

$- 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - 7 \int - \frac{1}{7} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{u_{2}}{7}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y + C_{1} = 7 \frac{u_{2}}{7} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Associez $7$ et $\frac{u_{2}}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.3.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.4.2

Divisez $u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- x^{7}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{7}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = e^{- x^{7}} + K$