Calcul infinitésimal Exemples

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ par $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Alors $d u = (- 6 x + 5) d x$ , donc $- d u = (6 x - 5) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Étape 2.2.1.1.5.2

Additionnez $- 6 x + 5$ et $0$ .

$- 6 x + 5$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$