Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y^{3} + y$ . Alors $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ , donc $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y^{3} + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y^{3} + y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y^{2} + 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{3} + y$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$