Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} \frac{d y}{d t} = \sin (2 t)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \sin (2 t) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \sin (2 t) d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (2 t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (2 t)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\cos (2 t)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{\cos (2 t)}{2} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K}$

Étape 3.4

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)}$