Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y + e^{y} + \cos (x)) d x + (x^{2} + x e^{y} - \sin (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + e^{y} + \cos (x)]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + e^{y} + \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y} + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y} + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 x + e^{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x e^{y} - \sin (y)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- \sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (y)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 x + e^{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + e^{y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + e^{y}$ .

$2 x + e^{y} = 2 x + e^{y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x + e^{y} = 2 x + e^{y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + x e^{y} - \sin (y) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int x e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int x e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Étape 5.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} y + C + x \int e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Étape 5.4

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) + \int - \sin (y) d y$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) - \int \sin (y) d y$

Étape 5.6

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) - (- \cos (y) + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y x + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y x + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.4.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$2 y x + e^{y} + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.5

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y x + e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + e^{y} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $2 y x + e^{y}$ et $0$ .

$2 y x + e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + e^{y} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y$

Étape 9.1.2

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y - e^{y}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y - e^{y}$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{y} + \cos (x) - e^{y}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $0$ et $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + \cos (x) - e^{y}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $e^{y}$ de $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \cos (x)$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x)$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\cos (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \cos (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$g (x) = \sin (x) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + \sin (x) + C$