Calcul infinitésimal Exemples

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Étape 2

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Étape 2.1.2

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Étape 2.1.3

Divisez chaque terme dans $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ par $4 x y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Divisez chaque terme dans $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ par $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Étape 2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour écrire $\frac{3}{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{3}{4 x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Étape 2.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $1 + 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 2.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Divisez $y$ par $3 y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Étape 3.2.3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Étape 3.2.3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Étape 3.2.3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Étape 3.2.3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Étape 3.2.3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.9

Laissez $u = 3 y + 1$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.9.1

Laissez $u = 3 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.9.1.1

Différenciez $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Étape 3.2.9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.2.9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.9.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.2.9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.2.9.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.2.9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.9.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 3.2.9.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 3.2.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.10.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.12.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.14

Simplifiez

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$