Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = - x$

Étape 1.1.2

Multipliez les deux côtés par $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

Étape 1.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x (1 + y)$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez $- x (1 + y)$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x \cdot 1 - x y$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x - x y$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ par $\sqrt{1 + x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ par $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.2

Multipliez $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.3.1.1.3.1

Multipliez $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3.6.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.5

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Étape 1.1.4.3.1.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.3.1.1.6.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 1.1.4.3.1.1.6.6.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.3.2.1

Factorisez $x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1.1

Factorisez $x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $- x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.1.2

Factorisez $x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.1.3

Factorisez $x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (1))}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.3.4.1

Réécrivez $- (y + 1)$ comme $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 1))}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $y + 1$ à partir de $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Placez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1.1

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.3.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ comme $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$