Calcul infinitésimal Exemples

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ par ${(y \ln (x))}^{- 1}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ par ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Placez ${(y \ln (x))}^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Associez $y$ et $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

Étape 1.1.3.3.2

Associez $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Associez.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de ${(y + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Étape 1.4.5.2

Divisez $x^{2} \ln (x)$ par $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(y + 1)}^{2}$ comme $(y + 1) (y + 1)$ .

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.9.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.9.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.9.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.10

Additionnez $y$ et $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.11

Divisez $y^{2} + 2 y + 1$ par $y$ .

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Étape 2.2.11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Étape 2.2.11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

Étape 2.2.11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Étape 2.2.11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Étape 2.2.11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

Étape 2.2.11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Étape 2.2.11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Étape 2.2.11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

Étape 2.2.11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 y + 0$

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

Étape 2.2.11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Étape 2.2.11.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.15

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.2.16

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

Étape 2.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ comme $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.6.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.6.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

Étape 2.3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$