Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{2}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{2}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{2}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $2 v v'$ et $y$ par $v^{2}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $2 v$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 7.1.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.2.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3

Annulez le facteur commun à $v^{2}$ et $v$ .

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Étape 7.1.1.2.1.3.1

Factorisez $v$ à partir de $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.2.1.3.2.1

Factorisez $v$ à partir de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.6

Multipliez $\frac{v}{x}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1.1.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.1.2

Simplifiez

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 7.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $\frac{1}{2 x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.2

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.2.4.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 7.3.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Étape 7.3.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7.7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7.7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.7.3.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.7.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.7.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.8

Divisez chaque terme dans $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ par $x^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.8.1

Divisez chaque terme dans $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.2.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.8.3.1.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.8.3.1.2.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.2.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.3

Simplifiez $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.8.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$