Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + x^{3} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $y d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} d y = - y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{3} y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Étape 4.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.4.1

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Étape 4.3.4.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 x^{2}}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Étape 5.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ comme $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$