Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{x + y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x + y}$ par $v$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d y}$ en différenciant $e^{x + y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Étape 3

Remplacez $e^{x + y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Étape 4.2

Additionnez $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ et $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Étape 5

Séparez les variables.

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Étape 5.1

Résolvez $\frac{d v}{d y}$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez les deux côtés par $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 5.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Étape 5.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Étape 5.1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.2.2.1

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Étape 5.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Étape 6

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Étape 6.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1.1

Retirez $v^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Étape 6.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Étape 6.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{- 2}$ par rapport à $v$ est $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Étape 6.2.3

Réécrivez $- v^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Étape 6.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Étape 7

Résolvez $v$ .

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Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$v, 1, 1$

Étape 7.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$v$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{v} = y + K$ par $v$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{v} = y + K$ par $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Étape 7.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = y v + K v$

Étape 7.3

Résolvez l’équation.

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Étape 7.3.1

Réécrivez l’équation comme $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Étape 7.3.2

Factorisez $v$ à partir de $y v + K v$ .

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $v$ à partir de $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Étape 7.3.2.2

Factorisez $v$ à partir de $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Étape 7.3.2.3

Factorisez $v$ à partir de $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Étape 7.3.3

Divisez chaque terme dans $v (y + K) = - 1$ par $y + K$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $v (y + K) = - 1$ par $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Étape 7.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + K$ .

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Étape 7.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Étape 7.3.3.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Étape 9.2

Développez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Développez $\ln (e^{x + y})$ en déplaçant $x + y$ hors du logarithme.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Étape 9.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Étape 9.2.3

Multipliez $x + y$ par $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Étape 9.3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$