Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $c_{1}$ est constant par rapport à $x$ , placez $c_{1}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = c_{1} \int x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $c_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $c_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{2 x} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $c_{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} (e^{u} + C_{3})$

Étape 2.3.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.10.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2}}{2} e^{u} + C_{4}$

Étape 2.3.10.2

Associez $\frac{c_{2}}{2}$ et $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2} e^{u}}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} c_{1} x^{3} + \frac{1}{2} c_{2} e^{2 x} + C_{4}$

Étape 2.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + K$