Calcul infinitésimal Exemples

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x + x y \cot (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Étape 1.2.3

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x \cot (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y \cot (x)$ par rapport à $y$ est $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x \cot (x) + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x \cot (x) + 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x \cot (x) + 1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $x \cot (x)$ et $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $\cot (x)$ par $1$ .

$\cot (x)$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \cot (x) d x}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y - x + x y \cot (x)$ par $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.2.2.1

Associez $x$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Étape 6.2.2.2

Associez $y$ et $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x \sin (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x \sin (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x y \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Étape 12.1.2

Soustrayez $y \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Étape 12.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y x \cos (x)$ et $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $x y \cos (x)$ de $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $y \sin (x) - x \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Étape 12.1.3.4

Soustrayez $y \sin (x)$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Étape 12.1.3.5

Additionnez $- x \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- x \sin (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Étape 13.6

Simplifiez

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Étape 13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Étape 13.6.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Étape 13.7

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Étape 13.8

Réécrivez $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ comme $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Étape 15.1.2

Multipliez $- (- x \cos (x))$ .

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Étape 15.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Étape 15.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$