Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez ${(2 + y)}^{2}$ à partir de $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- u^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 + y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$2 + y, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 + y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ par $2 + y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ par $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 + y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Étape 3.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Étape 3.2.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Étape 3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2 \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2 K$ des deux côtés de l’équation.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \tan (x) + K y$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ par $\tan (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ par $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x) + K$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - 2 \tan (x)$ .

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Étape 3.3.4.3.1.3.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ comme $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.4.3.3.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Étape 3.3.4.3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $π$ et $y$ par $- 5$ dans $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2.3

Multipliez $2 (- 0)$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Étape 6.2.5

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Étape 6.2.6

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Étape 6.2.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Étape 6.2.8

Additionnez $0$ et $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$K, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$K$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ par $K$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ par $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $K$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + K}{K}$ dans le numérateur.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- (1 + K) = - 5 K$

Étape 6.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Étape 6.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Déplacez tous les termes contenant $K$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1.1

Ajoutez $5 K$ aux deux côtés de l’équation.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Étape 6.5.1.2

Additionnez $- K$ et $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 K = 1$

Étape 6.5.3

Divisez chaque terme dans $4 K = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 K = 1$ par $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.5.3.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $\frac{1}{4}$ dans $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez $K$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Étape 7.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $4$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Étape 7.2.2

Associez.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.5.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Étape 7.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan (x) + 4 K$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Étape 7.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Étape 7.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$