Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $10 + 2 t$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

Étape 1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

Étape 1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5) + 2 (t)$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Étape 1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Étape 1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

Étape 1.2.2

Laissez $u = 5 + t$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.2.2.1

Laissez $u = 5 + t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Différenciez $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Étape 1.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.2.2.1.3

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.2.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 1.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 1.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (5 + t)}$

Étape 1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$5 + t$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $5 + t$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10 + 2 t$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5 + 2 t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{1}{5 + t}$ et $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $5 + t$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

Étape 2.5

Déplacez $4$ à gauche de $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

Étape 6.2

Appliquez la règle de la constante.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

Étape 6.3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

Étape 6.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Étape 6.5.2

Simplifiez

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Étape 6.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

Étape 6.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Étape 6.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

Étape 6.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ par $5 + t$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ par $5 + t$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $5 + t$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $Q$ par $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$