Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(x^{2} + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 4.3.6.2

Simplifiez

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Étape 4.3.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 4.3.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Étape 5.2.2.1.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Étape 5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Étape 5.4.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Étape 5.4.2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.3.1

Associez $- x$ et $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Étape 5.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Étape 5.4.4.2

Réécrivez $x \cdot x$ comme $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Étape 5.4.4.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Étape 5.4.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Étape 5.4.5

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Étape 5.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.7.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.7.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.7.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Étape 5.4.7.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Étape 5.4.8

Associez $3$ et $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Étape 5.4.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 5.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.4.11.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.4.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 5.4.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.4.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.4.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.4.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.4.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 5.4.11.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 5.4.12

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 5.4.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Étape 5.4.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$