Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Étape 2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Étape 2.3.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Étape 2.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 2.3.7

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \cot (x) + K$