Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y (t)}{d t} = 2 t^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ par $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t}$

Étape 1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t^{1}}$

Étape 1.2.3.1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1}$

Étape 1.2.3.1.2.5

Divisez $2 t$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$d y = 2 t d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 t d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int t d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = t^{2} + K$