Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 5)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 5)$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 5)$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 5)}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 5)}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d w}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 5)}{x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{4 x + 5}{x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 5}{x^{2}})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $\sqrt{w}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 5}{x^{2}})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{4 x + 5}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $w^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $w$ est $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 x + 5}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 5) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 5) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 5) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(4 x + 5) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x \cdot x^{- 2} + 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x) + 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x^{1}) + 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 2 + 1} + 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} + 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} d x + \int 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 5 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- x^{- 1} + C_{3})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Simplifiez

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + 5 (- \frac{1}{x}) + C_{4}$

Étape 2.3.9.2

Simplifiez

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Étape 2.3.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) - 5 \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + \frac{- 5}{x} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) - \frac{5}{x} + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{5}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $w$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{5}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{5}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $w^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{5}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \frac{2 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3.2.4

Divisez $2 \ln (| x |)$ par $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + 2 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$w^{1} = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$w = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$w = {(- \frac{5}{2 x} + \ln (x^{2}) + C)}^{2}$