Calcul infinitésimal Exemples

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (y - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{y - 1}$ et $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y - 1$ à partir de $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y - 1$ à partir de $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{x - 1}$ et $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez $y$ par $y - 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Étape 4.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Étape 4.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y - 1$

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Étape 4.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Étape 4.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.4

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.4.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

Étape 4.3.2

Divisez $x$ par $x - 1$ .

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Étape 4.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 4.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Étape 4.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Étape 4.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Étape 4.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 4.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.5

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Étape 4.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

Étape 4.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$