Calcul infinitésimal Exemples

$4 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$4 y d y = 5 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 4 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour écrire $\frac{K}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{6}}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{6}}$

Étape 3.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 3.3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 3.3.7.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 3.3.7.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 3.3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 3.3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 3.3.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6}$

Étape 3.3.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$

Étape 3.3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$