Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x y^{2}$ .

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 3.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 3.3.1.1.4

Simplifiez

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Étape 3.3.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 3.3.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Étape 4.2.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Étape 4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

Étape 4.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 4.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Étape 4.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 4.4.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

Étape 4.4.5

Associez $3$ et $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 4.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.4.8.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.4.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 4.4.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 4.4.8.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.4.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.4.8.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.4.8.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.4.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 4.4.8.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 4.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 4.4.9.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 4.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.10.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Étape 4.4.10.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$